응력 해석과 파손이론

복합 하중을 받는 L형 렌치의 임계 응력 상태를 Mohr 원과 파손 이론으로 분석합니다.

1. Mohr 원

임의의 2차원 응력 상태 $(\sigma_x,\, \sigma_y,\, \tau_{xy})$가 주어질 때, 각도 $\theta$로 회전한 단면에서의 수직·전단 응력은 다음 변환식으로 구합니다.

응력 변환식

$$\sigma(\theta) = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta$$ $$\tau(\theta) = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta$$

이 궤적을 $\sigma$–$\tau$ 평면에 그리면 반지름 $R$인 원이 되며, 이를 Mohr 원이라 합니다.

원 중심 & 반지름

$$C = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}, \qquad R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^{\!2}+\tau_{xy}^{2}}$$

전단응력이 0인 두 교점이 주응력이며, 원의 최고점이 최대 전단응력입니다.

주응력 & 최대 전단응력

$$\sigma_1 = C+R, \qquad \sigma_2 = C-R, \qquad \tau_{\max} = R$$

본 렌치 문제에서는 굽힘 수직응력 $\sigma$와 비틀림 전단응력 $\tau$가 동시에 작용하므로, 응력 상태는 $(\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy})=(\sigma,0,\tau)$이고 중심과 반지름은 다음과 같습니다.

렌치 임계점

$$C = \frac{\sigma}{2}, \qquad R = \sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^{\!2}+\tau^{2}}$$

2. 항복응력

단축 인장 시험에서 소성 변형이 시작되는 경계 응력을 항복강도 $S_y$라 하며, 연성 재료 파손 기준의 기준값으로 사용됩니다.

재료	$S_y$ (MPa)	$S_u$ (MPa)
SM45C (기계구조용강)	490	686
STS304 (오스테나이트계)	205	520
Al 6061-T6	276	310
Ti-6Al-4V	880	950

단축 시험값을 복잡한 다축 응력 상태에 적용하기 위해 등가응력(equivalent stress) 개념이 필요합니다.

3. 최대전단응력이론 (MSS / Tresca)

Henri Tresca(1868)가 제안한 이론으로, 재료가 최대 전단응력이 단축 항복 전단응력에 도달할 때 항복이 시작된다고 봅니다.

최대 전단응력

$$\tau_{\max} = \frac{1}{2}\max\!\left(\,|\sigma_1-\sigma_2|,\;|\sigma_2-\sigma_3|,\;|\sigma_3-\sigma_1|\,\right)$$

항복 조건

$$\tau_{\max} \;\geq\; \frac{S_y}{2}$$

평면응력 $(\sigma_3=0)$에서 $\sigma_1$과 $\sigma_2$의 부호에 따라 지배식이 달라집니다.

평면응력 경우

$$\tau_{\max} = \begin{cases} \dfrac{\max(|\sigma_1|,\,|\sigma_2|)}{2} & \sigma_1,\,\sigma_2 \text{ 동부호} \\[10pt] \dfrac{|\sigma_1-\sigma_2|}{2} & \sigma_1,\,\sigma_2 \text{ 이부호} \end{cases}$$

$\sigma_1$–$\sigma_2$ 선도에서 항복 경계는 육각형으로 나타납니다. Von Mises 타원보다 항상 안쪽에 위치하므로 더 보수적(conservative)입니다.

4. 변형에너지이론 (Von Mises)

von Mises(1913)가 제안한 이론으로, 형상 변화에 소비되는 단위체적당 전단 변형에너지가 단축 항복 시 값과 같아질 때 파손된다고 봅니다.

등가응력 — 평면응력

$$\sigma_{\mathrm{vm}} = \sqrt{\sigma_1^2 - \sigma_1\sigma_2 + \sigma_2^2}$$

등가응력 — 일반 3축

$$\sigma_{\mathrm{vm}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}$$

항복 조건

$$\sigma_{\mathrm{vm}} \;\geq\; S_y$$

$\sigma_1$–$\sigma_2$ 선도에서 항복 경계는 기울어진 타원으로 나타납니다. 순수 전단에서의 항복 전단강도는 $S_s = S_y/\!\sqrt{3}\approx 0.577\,S_y$ 로, Tresca의 $0.5\,S_y$보다 약 15% 크므로 덜 보수적이나 실험값에 더 잘 부합합니다.

비교 항목	MSS (Tresca)	Von Mises
항복 경계 형상	육각형	타원
순수 전단 항복 $S_s$	$S_y/2$	$S_y/\sqrt{3}$
보수성	더 보수적	덜 보수적 (실험치 근접)
적용	설계 기준, 단순 계산	FEM 해석, 정밀 설계

5. 예제

아래 렌치의 팔 끝에서 하중 $N$이 아랫방향으로 가해질 때, 축의 안전계수를 구하여라.

주어진 조건

헤드 지름	$d_h = 15\;\text{mm}$
헤드 길이	$L_h = 20\;\text{mm}$
축 지름	$d = 10\;\text{mm}$
축 길이	$L = 110\;\text{mm}$
연결부 지름	$d_j = 20\;\text{mm}$
연결부 길이	$L_j = 20\;\text{mm}$
팔 길이	$a = 150\;\text{mm}$
항복강도	$S_y = 550\;\text{MPa}$
하중	$N = 200\;\text{N}$ 및 $N = 300\;\text{N}$

그림 1 — 기역자 렌치 정면 투상도 (단위: mm)

힌트 1

손잡이(팔)는 충분히 강하다고 가정한다. 파손이 우려되는 위치는 헤드와 축이 만나는 부위로, 급격한 형상 변화에 의한 응력 집중이 발생하는 임계 위치이다. 이 위치의 표면에는 굽힘 인장응력 $\sigma$와 비틀림 전단응력 $\tau$가 동시에 작용하는 미소면적이 존재한다. 비틀림 모멘트 $T$와 굽힘 모멘트 $M$을 먼저 구하라.

힌트 2

원형 단면 축의 단면 특성값은 다음과 같다.

$$\frac{I}{c} = \frac{\pi d^3}{32} \qquad \frac{J}{c} = \frac{\pi d^3}{16}$$

이를 이용하면 굽힘 수직응력 $\sigma = M/(I/c)$, 비틀림 전단응력 $\tau = T/(J/c)$를 구할 수 있다.

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