1. 하중과 모멘트의 부호규약
구조 해석에서 힘과 모멘트의 방향을 일관되게 정의하기 위해 부호규약을 사용합니다.
보의 단면을 가상으로 절단한 뒤, 절단면 좌측 부분에 작용하는 내력을 기준으로 정의합니다.
하중 (외력)
| 방향 | 부호 |
|---|
| 아래쪽 (중력 방향) | 양(+) |
| 위쪽 | 음(−) |
전단력 (Shear Force, V)
절단면 좌측에서 위쪽으로 작용하는 수직 합력을 양(+)으로 정의합니다.
| 절단면 좌측 | 절단면 우측 | 부호 |
|---|
| ↑ 위쪽 | ↓ 아래쪽 | 양(+) |
| ↓ 아래쪽 | ↑ 위쪽 | 음(−) |
굽힘모멘트 (Bending Moment, M)
보가 아래로 볼록(새깅, Sagging)하게 휘는 경우를 양(+)으로 정의합니다.
| 변형 형태 | 부호 | 아랫면 | 윗면 |
|---|
| 아래로 볼록 (새깅, Sagging) | 양(+) | 인장 | 압축 |
| 위로 볼록 (호깅, Hogging) | 음(−) | 압축 | 인장 |
단순지지보에 아래 방향 집중하중이 작용하면 보는 전 구간에서 새깅 변형이 발생하므로
굽힘모멘트는 항상 양(+)의 값을 가집니다.
2. 자유물체도 (Free Body Diagram, FBD)
자유물체도는 구조물의 일부를 가상으로 분리하여 그 부분에 작용하는
모든 외력과 내력을 명시적으로 표시한 그림입니다.
단순지지보에서 FBD 작성 절차
- ① 반력 계산 — 전체 보에 대한 평형방정식으로 R_A, R_B를 구합니다.
- ② 단면 절단 — 내력을 구하고 싶은 위치 x에서 보를 가상으로 절단합니다.
- ③ 내력 표시 — 절단면에 전단력 V와 굽힘모멘트 M을 부호규약에 따라 양의 방향으로 표시합니다.
- ④ 평형 적용 — 절단된 부분에 ΣF_y = 0, ΣM = 0을 적용하여 V와 M을 계산합니다.
집중하중 P, 위치 a에서의 계산 예 (좌측 부분, x < a)
반력 계산
R_A = P·(L−a)/L
R_B = P·a/L
ΣF_y = 0 (좌측)
V = R_A
0 ≤ x < a 구간
ΣM_절단점 = 0
M = R_A · x
0 ≤ x < a 구간
하중 우측 구간 (x > a)
ΣF_y = 0 (좌측)
V = R_A − P = −R_B
a < x ≤ L 구간
ΣM_절단점 = 0
M = R_A·x − P(x−a)
= R_B·(L−x)
좌측 부분과 우측 부분 중 힘이 더 적게 작용하는 쪽을 선택하면
계산이 간단해집니다.
3. 전단력과 굽힘모멘트의 관계
분포하중 w(x), 전단력 V(x), 굽힘모멘트 M(x) 사이에는
미적분을 통해 유도된 다음의 관계가 성립합니다.
하중 → 전단력
dV/dx = −w(x)
분포하중의 크기 = V 기울기의 음수
전단력 → 굽힘모멘트
dM/dx = V(x)
전단력의 크기 = M 기울기
통합 관계
d²M/dx² = −w(x)
분포하중은 M의 곡률 결정
적분 형태 — 면적법칙
전단력 변화량
V_B − V_A = −∫w dx
A→B 구간 분포하중의 면적
모멘트 변화량
M_B − M_A = ∫V dx
A→B 구간 SFD의 면적
중요 성질
- V = 0인 점에서 M은 극값(최대 또는 최소)을 가집니다.
- 집중하중 P가 작용하는 점에서 V는 P만큼 불연속 도약합니다.
- 분포하중이 없는 구간: V = 상수 → M은 직선
- 등분포하중(w = const) 구간: V = 1차 함수 → M은 2차 포물선
SFD의 어떤 구간의 넓이를 계산하면,
그 구간의 굽힘모멘트 변화량을 직접 구할 수 있습니다.